Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的，并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（4）將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度？

Answer 1

 解：（1）設(shè)拋物線解析式為，

把代入得．

，頂點(diǎn)

(2)G(4,8),  G(8,8),  G(4,4)  

（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，

由求得直線的解析式為

它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線交于，則．

則，點(diǎn)到的距離為．

又．．

平方并整理得：，．

存在滿足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為．

（4）由上求得．

拋物線向上平移，可設(shè)解析式為．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，．或．

．

∴向上最多可平移72個(gè)單位長。