Question

如圖，在半圓O中，AB為直徑，弦AP與BE相交于F，連接AE、BP，AP平分∠EAB．
（1）求證：△AEF∽△APB；
（2）若AE：AP=2：3，AF=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵在半圓O中，AB為直徑，
∴∠AEB=∠APB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
又∵AP平分∠EAB，
∴∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB；

（2）∵△AEF∽△APB，
∴=．
又∵AE：AP=2：3，AF=4，
∴=，
∴AB=6，
∴⊙O的半徑是AB=3．
分析：（1）利用“兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等”證得△AEF∽△APB；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式=，然后將已知條件代入該比例式即可求得⊙O的直徑AB=6，則⊙O的半徑是3．
點評：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．圓周角必須滿足兩個條件：①定點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．