Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，交AC于點C，且∠BED=∠C．
（1）判斷直線AC與圓O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AO=5，AD=8，求AC的長．

Answer 1

解：（1）直線AC與圓O的位置關系是相切，
理由：∵∠BED與∠DAB所對的弧都為，
∴∠BED=∠DAB，又∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
則AC為圓O的切線．

（2）解：連接BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD===6，
∴△OAC∽△BDA，
∴OA：BD=AC：DA，
即5：6=AC：8，
∴AC=．
分析：（1）直線AC與圓O的位置關系是相切，理由為：利用同弧所對的圓周角相等可得一對角相等，再由已知的兩角相等，等量代換可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根據垂直定義可得∠AFO為90°，進而得到三角形AFO中兩銳角互余，等量代換可得三角形AOC中兩角互余，即∠CAO為90°，即可得到直線AC與圓的切線，得證；
（2）連接BD．由直徑直徑對的圓周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得BD===6，由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，從而求得AC的值．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓周角定理，垂直定義，利用了轉化及等量代換的思想，其中經過直徑一端，且與直徑垂直的直線為圓的切線，熟練掌握此性質是證明切線的關鍵．