Question

如圖，拋物線y=a（x-4）²+4（a≠0）經(jīng)過原點O（0，0），點P是拋物線上的一個動點，OP交其對稱軸l于點M，且點M、N關(guān)于頂點Q對稱，連結(jié)PN、ON．
（1）求a的值；
（2）當點P在對稱軸l右側(cè)的拋物線上運動時，試解答如下問題：
①是否存在點P，使得ON⊥OP？若存在，試求出點P的坐標；否則請說明理由；
②試說明：△OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上．

Answer 1

【答案】分析：（1）把原點的坐標代入拋物線解析式，列出關(guān)于a的方程0=a（0-4）²+4，通過解方程0=a（0-4）²+4來求a的值；
（2）①根據(jù)題意，可點，則易求得AN=OD=4，，BP=x，OA=x．
如圖1所示，作NA⊥y軸于點A，PB⊥y軸于點B，構(gòu)建相似三角形：△ANO∽△BOP．由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得，即點P的坐標；
②欲證明△OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上，只需證明直線l平分∠ONP即可．
解答：解：（1）把點O（0，0）代入y=a（x-4）²+4，得：0=a（0-4）²+4，解得：．

（2）由（1）得：，
∴拋物線的解析式是，即．
∵點P是拋物線上的點，
∴設(shè)點
則直線OP的解析式為：．
∴M（4，-x+8），
由可得頂點Q（4，4），又點M、N關(guān)于頂點Q對稱
∴N（4，x）
∴AN=OD=4，，BP=x，OA=x
若ON⊥OP，則∠NOP=90°，顯然點P在第四象限，
如圖1所示，作NA⊥y軸于點A，PB⊥y軸于點B．
∴∠OPB+∠POB=90°，∠OPB=∠AON（同角的余角相等）．
∴△ANO∽△BOP．
∴，即，即，
解得：，
又x＞4
∴
∴點
故當點P在對稱軸l右側(cè)的拋物線上運動時，存在點P的坐標，使得ON⊥OP．

②如備用圖，作PH⊥l于點H．
由點、N（4，x），可得：PH=x-4，，
在Rt△PHN中，，
在Rt△ODN中，，
∴tan∠PNH=tan∠OND
∴∠PNH=∠OND，即直線l平分∠ONP，
∴△OPN的內(nèi)心必在對稱軸l上．
點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)心的定義．在解答（1）①時，也可以由△ODM∽△PBO求得DM=x-8，即M（4，-x+8）．