Question

【題目】如圖1，AB∥CD，點P為定點，E、F分別是AB、CD上的動點．

(1)求證：∠P＝∠BEP＋∠PFD；

(2)若點M為CD上一點，如圖2，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N.試說明∠EPF與∠PNM的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3)移動E、F使得∠EPF＝90°，如圖3，作∠PEG＝∠BEP，求∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠EPF＝∠PNM.（3）2∶1.

【解析】

（1）如圖1，過點P作PG∥AB，根據(jù)平行線的性質進行證明；

（2）利用（1）中的結果和三角形外角的性質可以推知∠EPF=∠PNM；

（3）利用（1）中的結論得到∠1+∠2=90°，結合已知條件∠PEG=∠BEP，即∠1=∠3得到∠4=180°-2∠1，易求∠AEG與∠PFD度數(shù)的數(shù)量關系．

解：(1)證明：如答圖(1)，過點P作PG∥AB，則∠1＝∠BEP.

又∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2＝∠PFD，

∴∠EPF＝∠1＋∠2＝∠BEP＋∠PFD，即∠EPF＝∠BEP＋∠PFD.

(2)∠EPF＝∠PNM.證明如下：

由(1)知，∠EPF＝∠BEP＋∠PFD.

如答圖(2)，

∵∠FMN＝∠BEP，

∴∠EPF＝∠FMN＋∠PFD.

又∵∠PNM＝∠FMN＋∠PFD，

∴∠EPF＝∠PNM.

(3)如答圖(3)，

∵由(1)知∠1＋∠2＝90°.

∴∠2＝90°－∠1.

又∵∠1＝∠3，

∴∠4＝180°－2∠1＝2∠2，

∴∠4∶∠2＝2∶1.

即∠AEG與∠PFD度數(shù)的比值為2∶1.