如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D.下列四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論有( )個(gè)
①EF是△ABC的中位線.
②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切;
③設(shè)OD=m,AE+AF=2n,則S△AEF=mn;
④;
(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)
C
解析:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=
∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A;故①正確;
過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,連接OA,
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,
∴ON=OD=OM=m,
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+
AF•OD=
OD•(AE+AF)=
mn;故③正確;
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,
∴∠EAB=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴EB=EO,F(xiàn)O=FC,
∴EF=EO+FO=BE+CF,
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切,故④正確.
∴其中正確的結(jié)論是①③④.故選C.
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C、
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