Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D．下列四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論有（     ）個(gè)

①EF是△ABC的中位線．

②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；

③設(shè)OD=m，AE+AF=2n，則S_△AEF=mn；

④；

（A）1個(gè)        （B）2個(gè)       （C）3個(gè)     （D）4個(gè)

 

Answer 1

C

解析:∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正確；

過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③正確；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴EB=EO，F(xiàn)O=FC，

∴EF=EO+FO=BE+CF，

∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故④正確．

∴其中正確的結(jié)論是①③④．故選C．