Question

（2012•郯城縣一模）如圖，已知拋物線y=ax²+4x+c經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線和直線BC的解析式；
（2）設(shè)拋物線與直線BC相交于點(diǎn)D，連接AB、AD，求△ABD的面積；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△ABD=S_△ACD+S_△ABC進(jìn)行計算，即可得出答案．
（3）AB長度固定，只需滿足QA+QB最小即可，找點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置，求出其坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（2，0）、B（0，-6）代入拋物線解析式得：

4a+8+c=0 c=-6

，
解得：

a=- 1 2 c=-6

，
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+4x-6，
其對稱軸為：x=4，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：

4k+b=0 b=-6

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
故直線BC的解析式為y=

3

2

x-6；

（2）聯(lián)立直線BC與拋物線的解析式：

y=- 1 2 x2+4x-6 y= 3 2 x-6

，
解得：

x=0 y=-6

或

x=5 y= 3 2

，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，

3

2

），
則S_△ABD=S_△ACD+S_△ABC=

1

2

AC×D_縱+

1

2

AC×|B_縱|=

15

2

．

（3）存在點(diǎn)Q，使得△QAB的周長最��；
點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)Q的位置：

A'坐標(biāo)為（6，0），B（0，-6），
設(shè)直線A'B的解析式為：y=mx+n，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)可得：

6m+n=0 n=-6

，
解得：

m=1 n=-6

，
即直線A'B的解析式為y=x-6，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，-2）．
即存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)（4，-2）時，使得△QAB的周長最小．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，及利用軸對稱求最短路徑的問題，解答第二問需要我們將要求圖形的面積分割，第三問的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的位置，難度較大．