Question

矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0）、C（0，3），直線y=x與BC邊相交于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D、A兩點，試確定此拋物線的表達式；

（3）P為x軸上方（2）中拋物線上一點，求△POA面積的最大值；

（4）設(shè)（2）中拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點Q為對稱軸上一動點，以Q、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點的坐標．

　

　

Answer 1

       解：（1）由題知，直線y=x與BC交于點D（x，3）．（1分）

把y=3代入y=x中得，x=4，

∴D（4，3）；（3分）

（2）拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點，分別代入y=ax²+bx中，（4分）

得

解之得（5分）

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x；（6分）

（3）因△POA底邊OA=6，

∴當S_△POA有最大值時，點P須位于拋物線的最高點，

∵a=﹣＜0，

∴拋物線頂點恰為最高點，（7分）

（8分）

∴S_△POA的最大值=×6×=；（10分）

（4）拋物線的對稱軸與x軸交于點Q₁，符合條件．

∵CB∥OA，∠Q₁OM=∠CDO，

∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．x=﹣=3，該點坐標為Q₁（3，0）．（11分）

過點O作OD的垂線交拋物線的對稱軸于點Q₂，

∵對稱軸平行于y軸，

∴∠Q₂MO=∠DOC，

∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC．

在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中

Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，

∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO．

∴CD=Q₁Q₂=4，

∵點Q₂位于第四象限，

∴Q₂（3，﹣4）．（12分）

因此，符合條件的點有兩個，分別是Q₁（3，0），Q₂（3，﹣4）．（13分）