Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=1，AB=AC，CD＜1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：此題運(yùn)用作對(duì)稱點(diǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)相似三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等得到比例式，進(jìn)一步根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：作D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE、CE，AE與BC交于點(diǎn)O
∵A到BC的距離等于E到BC的距離
∴OA=OE
又∵∠BAC+∠BDC=180度．
∴ABEC四點(diǎn)共圓
設(shè)：CD=CE=x，AB=AC=y，OA=OE=z，OB=u，OC=1-u
根據(jù)三角形AOB和COE相似，得：
==①
根據(jù)三角形AOC和BOE相似，得：
y==②
另外因?yàn)椤螦BC=∠AEC=∠ACB，故：
△ACO∽△AEC，由此得到，y²=z×（2z）=2z²
即y=z．
代入②得：
u=
由①得：x=z×=-1
所以CD的長為-1．
點(diǎn)評(píng)：主要是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，進(jìn)一步聯(lián)立解方程組．