Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC．
（1）判斷直線BP和⊙O的位置關系，并說明你的理由；
（2）當⊙O的半徑為，AC=2，BE=1時，求BP的長．

Answer 1

（1）解：直線BP和⊙O相切，
理由：連接BC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PF∥AC，
∴BC⊥PF，
則∠PBC+∠BPF=90°，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
∴∠PBC+∠ABC=90°，
即∠PBA=90°，
∵AB是直徑，
∴直線BP和⊙O相切；

（2）解：由已知，得∠ACB=90°，
∵AC=2，AB=2，
∴由勾股定理得：BC=4，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
由（1），得∠ABP=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△EBP，
∴=，
解得BP=2，
即BP的長為2．
分析：（1）連接BC，求出∠ACB=90°，根據(jù)PF∥AC，推出BC⊥PF，求出∠PBC+∠BPF=90°，求出∠PBC+∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BC，證△ABC和△BEP相似，得出比例式，即可求出BP．
點評：本題考查了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的性質和判定、切線的判定的應用，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關鍵．