Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．

（1）求證：該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）如果拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸交于A、B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且m為正整數(shù)，求此拋物線的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，設(shè)此拋物線在﹣3≤x≤﹣之間的部分為圖象G，如果圖象G向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線CD有公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）y=x2+4x+3；（3）≤n≤4；

【解析】

（1）先求出根的判別式△，判斷△的取值范圍，即可得證；

（2）根據(jù)求根公式表示出兩根，由題意，求出m的值，可得拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)求出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設(shè)平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根據(jù)點(diǎn)在直線上，求出取值范圍即可．

（1）由根的判別式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2．

∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣．

∵拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，∴m=1，∴拋物線的解析式為：y=x2+4x+3；

（3）如圖，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴C（0，3）．

∵當(dāng)y=0時(shí)，x1=﹣3，x2=﹣1．

又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴D（1，0），設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴直線CD的表達(dá)式為：y=﹣3x+3．

又∵當(dāng)x=﹣時(shí)，y=，∴點(diǎn)E（﹣），∴平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（﹣3+n，0）時(shí)，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)E′（﹣+n，），時(shí)，得：﹣3（﹣+n）+3=，解得：n=，∴n的取值范圍是≤n≤4．