Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可證得直線CE與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）首先易證得△CDE∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得DE的長，又由勾股定理即可求得AC的長，然后設(shè)OA為x，即可得方程（

3

）²-x²=（

6

-x）²，解此方程即可求得⊙O的半徑．

解答：解：（1）直線CE與⊙O相切．…（1分）
理由：連接OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∵OE為圓O半徑，
∴直線CE與⊙O相切；…（4分）

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴

BC

DC

=

AB

DE

，…（6分）
又CD=AB=

2

，BC=2，
∴DE=1
根據(jù)勾股定理得EC=

3

，
又AC=

AB2+BC2

=

6

，…（7分）
設(shè)OA為x，則（

3

）²+x²=（

6

-x）²，
解得x=

6

4

，
∴⊙O的半徑為

6

4

．…（8分）

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．