(2012•如東縣一模)如圖,已知⊙O上A、B、C三點(diǎn),∠BAC=30°,D是OB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),∠BDC=30°,⊙O半徑為
2

(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果AC∥BD,證明四邊形ACDB是平行四邊形,并求其周長(zhǎng).
分析:(1)連接OC,由于∠A=30°,利用圓周角定理可知∠BOC=60°,而∠BDC=30°,利用三角形內(nèi)角和定理可求∠DCO=90°,從而可證CD是⊙的切線;
(2)由于AC∥BD,那么∠ABO=∠BAC=30°,而∠BDC=30°,等量代換可得∠ABO=∠BDC,根據(jù)平行線的判定可知AB∥CD,于是可證四邊形ABDC是平行四邊形,在Rt△OCD中,由于∠BDC=30°,OC=
2
,可知OD=2OC=2
2
,易求BD=
2

再利用特殊三角函數(shù)值可求CD=
6
,進(jìn)而可求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).
解答:(1)證明:連接OC,如圖
∵∠A=30°,
∴∠BOC=60°
又∵∠BDC=30°,
∴∠DCO=90°,
∴CD是⊙O的切線;
(2)證明:∵AC∥BD,
∴∠ABO=∠BAC=30°,
又∵∠BDC=30°,
∴∠ABO=∠BDC,
∴AB∥CD,
∴四邊形ABDC是平行四邊形,
在Rt△CDO中,
∵∠BDC=30°,OC=
2

∴OD=2OC=2
2
,CD=
3
OC=
6
,
∴DB=OD-OB=
2
,
∴平行四邊形ABDC的周長(zhǎng)=2(DB+DC)=2(
2
+
6
)=2
2
+2
6
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)、含有30°的直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是先證明CD是⊙的切線,并證明四邊形ABDC是平行四邊形.
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m
x
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m
x
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2.1×104
2.1×104
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1
3
π
1
3
π
平方單位(結(jié)果保留π).

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