Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC中點，點O在AB上，以OB為半徑的⊙O經過點AE上的一點M，分別交AB，BC于點F，G，連BM，此時∠FBM=∠CBM．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）當BC=6，OB：OA=1：2 時，求，AM，AF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見試題解析；（2）2﹣π．

【解析】

試題分析：（1）連接OM，由AB=AC，且E為BC中點，利用三線合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等邊對等角得到一對角相等，由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OM與BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得證；

（2）由E為BC中點，求出BE的長，再由OB與OA的比值，以及OB=OM，得到OM與OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對的角為30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，陰影部分的面積=三角形AOM面積﹣扇形MOF面積，求出即可．

試題解析：（1）連結OM，∵AB=AC，E是BC中點，∴BC⊥AE，∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，

∵∠FBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC，∴OM⊥AE，∴AM是⊙O的切線；

（2）∵E是BC中點，∴BE=BC=3，∵OB：OA=1：2，OB=OM，∴OM：OA=1：2，

∵OM⊥AE，∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，

∴==，∴OM=2，∴AM==2，

∴S陰影=×2×2﹣=2﹣π．