在數(shù)學文化節(jié)第一輪活動中,我們以探討一個趣題的方式紀念了數(shù)學大師歐拉誕辰300周年.著名數(shù)學家拉普拉斯說過:“讀讀歐拉,他是我們所有人的導師.”是!歐拉在數(shù)學上的貢獻實在太多了,即使在初等數(shù)學中也到處可見他的身影.我們再來看看歐拉研究過的“36軍官問題”:
從6支部隊中各選出6名不同軍銜的軍官,將這36名軍官排成一個6行6列的方陣,要求每行每列的6個軍官分別來自不同的部隊,并具有不同的軍銜.用大寫字母A,B,C,D,E,F(xiàn)分別表示6支不同的部隊,用小寫字母a,b,c,d,e,f分別表示6種不同的軍銜,于是問題轉(zhuǎn)化為:在6×6的方格陣中,每個方格分別填入一個大寫字母和一個小寫字母,使每行和每列中的大小寫字母只能各出現(xiàn)一次(通常稱這種方陣為歐拉方陣或正交拉丁方).歐拉攪盡腦汁,也沒能排出符合要求的6×6方陣,他猜想并不存在這樣的6×6方陣.100多年以后,才有人證明了歐拉的這個猜想是正確的.
于是歐拉繼而探究了其他情形,例如,他分別作出了3×3,4×4,5×5正交拉丁方,并證明了當n除以4的余數(shù)不等于2時,n×n正交拉丁方是存在的.
正交拉丁方在藥品配方試驗設(shè)計等方面有著廣泛應(yīng)用.現(xiàn)在流行的“數(shù)獨”游戲和比賽,就是發(fā)源于拉丁方問題呢!
如圖是一個5×5正交拉丁方,請將剩余的字母填上
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