Question

【題目】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC內部或BC邊上的一個動點（與B、C不重合），以D為頂點作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度數(shù)；
（2）若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH．
①如圖1，連接GH、AD，當GH⊥AD時，請判斷四邊形AGDH的形狀，并證明；
②當四邊形AGDH的面積最大時，過A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB2+AC2=100=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠D=∠BAC=90°

（2）

解：①四邊形AGDH為正方形，

理由：如圖1，

延長ED交BC于M，延長FD交BC于N，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠E=∠EMC，

∴∠B=∠EMC，

∴AB∥DE，

同理：DF∥AC，

∴四邊形AGDH為平行四邊形，

∵∠D=90°，

∴四邊形AGDH為矩形，

∵GH⊥AD，

∴四邊形AGDH為正方形；

②當點D在△ABC內部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，

理由：如圖2，

點D在內部時（N在△ABC內部或BC邊上），延長GD至N，過N作NM⊥AC于M，

∴矩形GNMA面積大于矩形AGDH，

∴點D在△ABC內部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，

只有點D在BC邊上時，面積才有可能最大，

如圖3，

點D在BC上，

∵DG∥AC，

∴△BGD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴AH=8﹣ GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG，

當AG=﹣ =3時，S矩形AGDH最大，此時，DG=AH=4，

即：當AG=3，AH=4時，S矩形AGDH最大，

在Rt△BGD中，BD=5，

∴DC=BC﹣BD=5，

即：點D為BC的中點，

∵AD= BC=5，

∴PA=AD=5，

延長PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之間的距離，

∴D是EF的距離為PQ的長，

在△ABC中， AB×AC= BC×AQ

∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC，

∴k=

【解析】（1）先判斷△ABC是直角三角形，即可；（2）①先判斷AB∥DE，DF∥AC，得到平行四邊形，再判斷出是正方形；
②先判斷面積最大時點D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣ GA，得到S矩形AGDH=﹣ AG2+8AG，確定極值，AG=3時，面積最大，最后求k得值．此題是相似三角形的綜合題，主要考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形，矩形，正方形的判定和性質，極值的確定，勾股定理的逆定理，解本題的關鍵是作出輔助線，
【考點精析】利用平行線的性質和相似三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．