Question

已知拋物線y=x²+（2a-1）x+a²+3a+

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與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）令S=x₁²+x₂²，求S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即b²-4ac＞0，從而得出的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂，與x₁•x₂，再由完全平方公式的變形即可得出S的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+（2a-1）x+a²+3a+

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與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴b²-4ac＞0，
即（2a-1）²-4（a²+3a+

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）＞0，
解得a＜-1．

（2）設(shè)方程x²+（2a-1）x+a²+3a+

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4

=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2a，x₁•x₂=a²+3a+

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4

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（1-2a）²-2（a²+3a+

17

4

）=2（a-

5

2

）²-20，
∵a＜-1，
∴（a-

5

2

）²＞

49

4

，
∴2（a-

5

2

）²-20＞

9

2

，
即S＞

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線和軸的交點(diǎn)問(wèn)題，以及一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系、完全平方公式的應(yīng)用，是中考?jí)狠S題，難度較大．