Question

【題目】已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，

（1）如圖：P為AD上的一點(diǎn)，滿足；

① ；

② 求AP的長(zhǎng)

（2）如果點(diǎn)P在AD上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足，PE交直線與BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么

① 當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP = x，CQ = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

② 當(dāng)CE = 1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng)（不必寫出解題過(guò)程）

Answer 1

【答案】（1）① 見(jiàn)解析；② AP的長(zhǎng)為1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的長(zhǎng)為2．

【解析】

（1）①當(dāng)∠BPC＝∠A時(shí)，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此時(shí)三角形APB與三角形DPC相似．

②利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長(zhǎng)．

（2）①與（1）的方法類似，只不過(guò)把DC換成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．

②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過(guò)平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長(zhǎng)，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進(jìn)行求解即可．

（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．

∴∠A＝∠D

∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A

∴∠ABP＝∠DPC，

∴△ABP∽△DPC．

②∵△ABP∽△DPC，

∴，即：，

解得：AP＝1或AP＝4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ

∴，即：，

∴y＝x2＋x2（1＜x＜4）．

②當(dāng)CE＝1時(shí)，

∵△PDQ∽△ECQ，

∴，即或，

∵y＝x2＋x2，

解得：x＝2或3，

∴PA＝2或3．