Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D、E，連接AD并延長交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：=；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD與∠CEB相等；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，通過求證△EBC∽△BDC，即可推出結(jié)論；
（3）通過設(shè)BC=3x，AB=2x，根據(jù)題意，推出OC和CD的長度，然后通過求證△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．
解答：（1）解：∠CBD與∠CEB相等，
證明：∵BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，

（2）證明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴，

（3）解：∵AB、ED分別是⊙O的直徑，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴AB⊥BC，
∵BC=，
∴，
設(shè)BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=，
∴CD=（-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于：（1）熟練運(yùn)用圓周角定理，切線的性質(zhì)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件推出△EBC∽△BDC；（3）關(guān)鍵在于通過求證△DCF∽△BCD，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出tan∠DBF的值．