Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如圖，當(dāng)A′B′邊經(jīng)過點B時，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A′C與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥A′B′交CB′邊于點E，連接BE．
①當(dāng)0°＜α＜90°時，設(shè)AD=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式及定義域；
②當(dāng)S△BDE=

1

3

S△ABC時，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．根據(jù)平行線DE∥A'B'分線段成比例知

CD

CA′

=

CE

CB′

、及由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得y=

3

3

x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當(dāng)點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當(dāng)點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x-2．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋轉(zhuǎn)可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC為等邊三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．
∵DE∥A'B'，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

．（1分）
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，（1分）
∴

CD

CE

=

CA

CB

．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴

BE

AD

=

BC

AC

．
∵∠A=30°
∴

y

x

=

BC

AC

=

3

3

．（1分）
∴y=

3

3

x（0＜x＜2）（2分）
②當(dāng)0°＜α＜90°時，點D在AB邊上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，
∴

CD

CE

=

CA

CB

，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此時，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(2-x)×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
當(dāng)S=

1

3

S△ABC時，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．（2分）
當(dāng)90°＜α＜120°時，點D在AB的延長線上（如圖）．
仍設(shè)AD=x，則BD=x-2，∠DBE=90°，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(x-2)×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
當(dāng)S=

1

3

S△ABC時，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得x1=1+

2

，x2=1-

2

（負值，舍去）．
即AD=1+

2

．（2分）
綜上所述：AD=1或AD=1+

2

．

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分類討論．