1.閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與長(zhǎng)方形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的長(zhǎng)方形為三角形的“友好長(zhǎng)方形”,如出①所示,長(zhǎng)方形ABEF即為△ABC的“友好長(zhǎng)方形”,顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好長(zhǎng)方形”只有一個(gè);
(1)仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”;
(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫(huà)出△ABC的所有“友好長(zhǎng)方形”,并比較這些長(zhǎng)方形面積的大;
(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫(huà)出△ABC的所有“友好長(zhǎng)方形”,指出其中周長(zhǎng)最小的長(zhǎng)方形并加以證明.

分析 (1)類(lèi)似“友好矩形”的定義,即可寫(xiě)出“友好平行四邊形”的定義:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”;
(2)根據(jù)定義,則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形.根據(jù)每個(gè)矩形和直角三角形的面積的關(guān)系,比較兩個(gè)矩形的面積大小;
(3)分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形,根據(jù)三角形和矩形的面積公式,可知三個(gè)矩形的面積相等,設(shè)矩形的面積是S,三角形的三條邊分別是a,b,c.根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊,進(jìn)一步求得其周長(zhǎng),運(yùn)用求差法比較它們的周長(zhǎng)的大。

解答 解:(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.     

(2)此時(shí)共有2個(gè)友好矩形,如圖的矩形BCAD、ABEF.     
易知,矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.                

(3)此時(shí)共有3個(gè)友好矩形,如圖的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK,
其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最。                        

證明如下:
易知,這三個(gè)矩形的面積相等,令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1,L2,L3
△ABC的邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c,則:
L1=$\frac{2S}{a}$+2a,L2=$\frac{2S}$+2b,L3=$\frac{2S}{c}$+2c,
∴L1-L2=($\frac{2S}{a}$+2a)-($\frac{2S}$+2b)=-$\frac{2s}{ab}$(a-b)+2(a-b)=2(a-b)•$\frac{ab-s}{ab}$,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周長(zhǎng)最。

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì),求矩形的周長(zhǎng),理解該題中的新定義,能夠根據(jù)定義正確畫(huà)出符合要求的圖形,掌握三角形和矩形的面積公式,能夠運(yùn)用求差法比較數(shù)的大。

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在Rt△ABC中, ∠C=90°, , ,則∠A( )

A. B. C. D.

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(1)當(dāng)四邊形AQCB是平行四邊形時(shí),求t值.
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