分析 (1)類(lèi)似“友好矩形”的定義,即可寫(xiě)出“友好平行四邊形”的定義:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”;
(2)根據(jù)定義,則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形.根據(jù)每個(gè)矩形和直角三角形的面積的關(guān)系,比較兩個(gè)矩形的面積大小;
(3)分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形,根據(jù)三角形和矩形的面積公式,可知三個(gè)矩形的面積相等,設(shè)矩形的面積是S,三角形的三條邊分別是a,b,c.根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊,進(jìn)一步求得其周長(zhǎng),運(yùn)用求差法比較它們的周長(zhǎng)的大。
解答 解:(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.
(2)此時(shí)共有2個(gè)友好矩形,如圖的矩形BCAD、ABEF.
易知,矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.
(3)此時(shí)共有3個(gè)友好矩形,如圖的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK,
其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最。
證明如下:
易知,這三個(gè)矩形的面積相等,令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1,L2,L3,
△ABC的邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c,則:
L1=$\frac{2S}{a}$+2a,L2=$\frac{2S}$+2b,L3=$\frac{2S}{c}$+2c,
∴L1-L2=($\frac{2S}{a}$+2a)-($\frac{2S}$+2b)=-$\frac{2s}{ab}$(a-b)+2(a-b)=2(a-b)•$\frac{ab-s}{ab}$,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì),求矩形的周長(zhǎng),理解該題中的新定義,能夠根據(jù)定義正確畫(huà)出符合要求的圖形,掌握三角形和矩形的面積公式,能夠運(yùn)用求差法比較數(shù)的大。
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在Rt△ABC中, ∠C=90°, ,
,則∠A( )
A. B.
C.
D.
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