Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，BC=3，CD=1．
（1）求證：tan∠AEC=

BC

CD

；
（2）請?zhí)骄緽M與DM的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，易證得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得

AC

EC

=

BC

CD

，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

EC

，即可證得tan∠AEC=

BC

CD

；
（2）首先過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，易得AB∥MN∥ED，又由點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，易得N是BD的中點(diǎn)，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)，即可證得BM=DM．

解答：（1）證明：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

；

（2）BM=DM．
證明：過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．

點(diǎn)評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．