• <li id="n9v0i"><optgroup id="n9v0i"><table id="n9v0i"></table></optgroup></li>
    已知:如圖,△ABC內接于⊙O,AB為直徑,弦CE⊥AB于F,C是的中點,連接BD并延長交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CE、BC于點P、Q.
    (1)求證:P是△ACQ的外心;
    (2)若,求CQ的長;
    (3)求證:(FP+PQ)2=FP•FG.

    【答案】分析:(1)由于AB是⊙O的直徑,則∠ACB=90°,只需證明P是Rt△ACQ斜邊AQ的中點即可;由垂徑定理易知弧AC=弧AE,而C是弧AD的中點,那么弧CD=弧AE,即∠PAC=∠PCA,根據(jù)等角的余角相等,還可得到∠AQC=∠PCQ,由此可證得AP=PC=PQ,即P是△ACQ的外心;
    (2)由(1)的相等弧可知:∠ABC=∠ACE=∠CAQ,那么它們的正切值也相等;在Rt△CAF中,根據(jù)CF的長及∠ACF的正切值,通過解直角三角形可求得AC的長,進而可在Rt△CAQ中,根據(jù)∠CAQ的正切值求出CQ的長;
    (3)由(1)知:PQ=CP,則所求的乘積式可化為:CF2=FP•FG;在Rt△ACB中,由射影定理得:CF2=AF•FB,因此只需證明AF•FB=FG•FP即可,將上式化成比例式,證線段所在的三角形相似即可,即證Rt△AFP∽Rt△GFB.
    解答:(1)證明:∵C是的中點,∴,
    ∴∠CAD=∠ABC
    ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.
    ∴∠CAD+∠AQC=90°
    又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°
    ∴∠AQC=∠PCQ
    ∴在△PCQ中,PC=PQ,
    ∵CE⊥直徑AB,∴

    ∴∠CAD=∠ACE.
    ∴在△APC中,有PA=PC,
    ∴PA=PC=PQ
    ∴P是△ACQ的外心.

    (2)解:∵CE⊥直徑AB于F,
    ∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=,CF=8,

    ∴由勾股定理,得BC==
    ∵AB是⊙O的直徑,
    ∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC==,BC=
    ∴AC=10,
    易知Rt△ACB∽Rt△QCA,
    ∴AC2=CQ•BC,
    ∴CQ==;

    (3)證明:∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°
    ∴∠DAB+∠ABD=90°
    又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°
    ∴∠DAB=∠G;
    ∴Rt△AFP∽Rt△GFB,
    ,即AF•BF=FP•FG
    易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
    ∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)
    ∴FC2=PF•FG,
    由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC
    ∴(FP+PQ)2=FP•FG.
    點評:此題主要考查了圓心角、弧的關系,圓周角定理,三角形的外接圓,勾股定理以及相似三角形的判定和性質等知識.
    練習冊系列答案
    相關習題

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    17、已知,如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,BE平分∠ABC,交AD于點M,AN平分∠DAC,交BC于點N.
    求證:四邊形AMNE是菱形.

    查看答案和解析>>

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    已知:如圖,∠ABC、∠ACB 的平分線相交于點F,過F作DE∥BC于D,交AC 于E,且AB=6,AC=5,求三角形ADE的周長.

    查看答案和解析>>

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    已知:如圖,△ABC是等邊三角形,點D在AB上,點E在AC的延長線上,且BD=CE,DE交BC于F,求證:BF=CF+CE.

    查看答案和解析>>

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    已知:如圖,△ABC中,AB=AC=10,BC=16,點D在BC上,DA⊥CA于A.
    求:BD的長.

    查看答案和解析>>

    科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

    已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,BD=DE,點E在AC的垂直平分線上.
    (1)請問:AB、BD、DC有何數(shù)量關系?并說明理由.
    (2)如果∠B=60°,請問BD和DC有何數(shù)量關系?并說明理由.

    查看答案和解析>>

    同步練習冊答案