Question

在平面直角坐標(biāo)系中，將直線l：y=-x-沿x軸翻折，得到一條新直線，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線C₁：y=x²沿x軸平移，得到一條新拋物線C₂，與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E、點(diǎn)F。

（l）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF//x軸，求拋物線C₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)F在y軸右側(cè)，過F作FH⊥x軸于點(diǎn)G，與直線l交于點(diǎn)H，一條直線m（m不過△AFH的頂點(diǎn)）與AF交于點(diǎn)M，與FH交于點(diǎn)N，如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長，求直線m的解析式。

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b 直線y=-x-與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（-2，0），（0，-），沿x軸翻折， 則直線y=-x-、直線AB與x軸交于同一點(diǎn)（-2，0）， ∴A（-2，0） ∵直線l與y軸的交點(diǎn)（0，-）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴B（0，），∴，解得k=，b=； ∴直線AB的解析式為y=x+。
（2）如圖，設(shè)平移后的拋物線C2的頂點(diǎn)為P（h，0）， 則拋物線C2解析式為：y=（x-h）2=x2-hx+h2 ∴D（0，h2） ∵DF//x軸， ∴DF=2h ∴點(diǎn)F（2h，h2）， 又點(diǎn)F在直線AB上， ∴h2=·（2h）+ 解得h1=3，h2=-， ∴拋物線C2的解析式為 y=（x-3）2=x2-4x+6或y=（x+）2=x2+x+；
（3）如圖，過M作MT⊥FH于T， ∴Rt△MTF∽R(shí)t△AGF ∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5 設(shè)FT=3k，則TM=4k，F(xiàn)M=5k ∴FN=（AH+HF+AF）-FM=16-5k ∴S△MNF=FN·MT= ∵S△AFH=FH·AG=×12×8=48 又S△MNF=S△AFH ∴=24，解得k=或k=2（舍去） ∴FM=6，F(xiàn)T=，MT=，GN=4，TG= ∴M（，），N（6，-4） ∴直線MN的解析式為：y=-x+4，即m：y=-x+4。