Question

閱讀理解：
當(dāng)a＞0且x＞0時，因為(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，從而x+

a

x

≥2

a

（當(dāng)x=

a

時取等號）．設(shè)y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)，由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=

a

時，y有最小值為2

a

．
直接應(yīng)用：已知y₁=x（x＞0）與y2=

1

x

(x＞0)，則當(dāng)x=

1

時，y₁+y₂取得最小值為

2

．
變形應(yīng)用：已知y₁=x+1（x＞-1）與y2=(x+1)2+4(x＞-1)，求

y2

y1

的最小值，并指出取得該最小值時相應(yīng)的x的值．
實戰(zhàn)演練：
在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-3，0），點B（0，-2）．點P是函數(shù)y=

6

x

在第一象限內(nèi)圖象上的一個動點，過P點作PC垂直于x軸，PD垂直于y軸，垂足分別為點C、D．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，四邊形ABCD的面積為S．
（1）求S和x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）求S的最小值，判斷此時的四邊形ABCD是何特殊的四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析：直接運用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果．
變形運用：先得出

y2

y1

的表達(dá)式，然后將（x+1）看做一個整體，繼而再運用所給結(jié)論即可．
實戰(zhàn)演練：（1）根據(jù)S=S_△AOD+S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC，進(jìn)而求出S與x之間的關(guān)系求出最值即可；
（2）利用（1）中所求數(shù)據(jù)，進(jìn)而得出DC=AD=AB=BC得出答案即可．

解答：解：直接應(yīng)用：
∵函數(shù)y=x+

a

x

（a＞0，x＞0），由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=

a

時，該函數(shù)有最小值為2

a

．
∴函數(shù)y₁=x（x＞0）與函數(shù)y₂=

1

x

（x＞0），則當(dāng)x=1時，y₁+y₂取得最小值為2．
故答案為：1，2；

變形應(yīng)用
已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
則

y2

y1

=

(x+1)2+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

的最小值為：2

4

=4，
∵當(dāng)（x+1）+

4

x+1

=4時，
整理得出：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
檢驗：x=1時，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故

y2

y1

的最小值為4，相應(yīng)的x的值為1；

實戰(zhàn)演練：
（1）S=S_△AOD+S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC，
=

1

2

×3×

6

x

+

1

2

×2×3+

1

2

×2×x+

1

2

×x×

6

x

，
=x+

9

x

+6．
故x=3時，最大s的最小=2×3+6=12．

（2）當(dāng)x=3時，CO=3，DO=

6

x

=2，
則DC=

32+22

=

13

，AD=

32+22

=

13

，AB=

32+22

=

13

，BC=

32+22

=

13

，
即DC=AD=AB=BC，
故此時的四邊形ABCD是菱形．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用及幾何不等式的知識和菱形的判定等知識，題目出的比較新穎，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題意所給的結(jié)論，達(dá)到學(xué)以致用的目的．