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作業(yè)寶如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D是AB的中點,連接CD,過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E,連接AE,過A作AF⊥AE交CD于點F.
(1)求證:AE=AF;  
(2)求證:CD=2BE+DE.

證明:(1)如圖,∵∠BAC=90°,AF⊥AE,
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°,
∴∠EAB=∠FAC,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠EBA=∠ACF,
∴在△AEB與△AFC中,,
∴△AEB≌△AFC(SAS)
∴AE=AF;
                    
(2)如圖,過點A作AG⊥EC,垂足為G.
∵AG⊥EC,BE⊥CD,
∴∠BED=∠AGD=90°,
∵點是AB的中點,
∴BD=AD.
∴在△BED與△AGD中,
∴△BED≌△AGD(AAS),
∴ED=GD,BE=AG,
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA,
∴GA=GF,
∴CF=BE=AG=GF,
∵CD=DG+GF+FC,
∴CD=DE+BE+BE,
∴CD=2BE+DE.
分析:(1)通過證△AEB≌△AFC(SAS),得到AE=AF;
(2)如圖,過點A作AG⊥EC,垂足為G,通過證△BED≌△AGD(AAS),得到ED=GD,BE=AG,易證CF=BE=AG=GF.因為CD=DG+GF+FC,所以CD=DE+BE+BE,故
CD=2BE+DE.
點評:本題考查了全等三角形的判定與性質.在應用全等三角形的判定時,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當輔助線構造三角形.
練習冊系列答案
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75
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( �。�
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1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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16
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