Question

【題目】在正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),AE與BF相交于點(diǎn)G．

（1）如圖1,求證：AE⊥BF；

（2）如圖2,將△BCF沿BF折疊,得到△BPF,延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,若AB=4,求QF的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）QF=5．

【解析】試題分析：（1）首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可證明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的關(guān)系求出QF=QB，設(shè)設(shè)QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程解方程求出x的值即可．

試題解析：（1）∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF；

（2）∵將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

設(shè)QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，

∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，

解得：x=5，

即QF=5．