Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程x²-18x+72=0的兩個根，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=2CD．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以0、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程x²-18x+72=0的兩個根，所以解這個方程即可得到OA=6，OB=12．又因點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知OC=AC．可作CE⊥x軸于點(diǎn)E，利用等腰三角形的三線合一可得，OE=OA=3，所以CE是三角形的中位線，CE=OB=6．得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標(biāo)．可作DF⊥x軸于點(diǎn)F，因?yàn)镃E⊥x軸，所以可得△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，把A、D的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求解；
（3）由（2）中D的坐標(biāo)可知，DA=AF=4，所以∠OAD=45°，因?yàn)橐設(shè)、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，所以需分情況討論：
若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螼AD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=3，OM=6-3，即P（6-3，3），得出Q的橫坐標(biāo)為6-3-6=-3，Q₁（-3，3）；若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因?yàn)椤螹AP=∠OAD=45°，利用三角函數(shù)可求出PM=AM=3，OM=6+3，即P（6+3，-3），得出Q的橫坐標(biāo)為6+3-6=3，Q₂（3，-3）；若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OAQP是正方形．又因正方形邊長為6，所以此時(shí)Q（6，6）；若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此時(shí)OPAQ是正方形．又因正方形對角線為6，由正方形的對稱性可得Q（3，-3）．
解答：解：（1）方程x²-18x+72=0，因式分解得：（x-6）（x-12）=0，
解得：x₁=6，x₂=12，即OA=6，OB=12，
在直角三角形OAB中，點(diǎn)C是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OC=AC=AB．
作CE⊥x軸于點(diǎn)E．則CE∥OB，點(diǎn)C為中點(diǎn)，
∴E為OA的中點(diǎn)，CE為△OAB的中位線，
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6）；

（2）作DF⊥x軸于點(diǎn)F．
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得
解得
∴直線AD的解析式為y=-x+6；

（3）存在．如圖：分為P在x軸上方和P在x軸下方兩種情況，
Q₁（-3，3）；（1分）
Q₂（3，-3）；（1分）
Q₃（3，-3）；（1分）
Q₄（6，6）．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、分情況求點(diǎn)的坐標(biāo)，而解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．