Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，以線段為直徑作⊙，交軸的正半軸于點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)作拋物線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結(jié)，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的角平分線交⊙于點(diǎn)，連結(jié)，在直線上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）交點(diǎn);（3）符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：，.

【解析】

(1)因?yàn)?/span>BC是直徑,所以∠BDC=90°,易證∽,由相似三角形的性質(zhì)得：,解得OD的長(zhǎng),從而求出點(diǎn)D坐標(biāo).由，設(shè)交點(diǎn)式解析式,把點(diǎn)D坐標(biāo)代入即可求出解析式.

（2）屬于最短路徑問(wèn)題，要使的周長(zhǎng)最小，因?yàn)?/span>CF的長(zhǎng)是定值，所以只要滿足PF+PC的值最小即可解答，作點(diǎn)F或者點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)，正好CD⊥BD,延長(zhǎng)至點(diǎn)，，則可得，連結(jié)交于點(diǎn)，再連結(jié)、，此時(shí)的周長(zhǎng)最短，求出的解析式為，再與的解析式：聯(lián)立，可得交點(diǎn).

（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①過(guò)F作FG∥DC，交F點(diǎn)右側(cè)的拋物線于G，此時(shí)兩內(nèi)錯(cuò)角∠GFC=∠DCF，可先用待定系數(shù)法求出直線DC的解析式，然后根據(jù)DC與FG平行，那么直線FG與直線DC的k值相同，因此可根據(jù)F的坐標(biāo)求出FG的解析式，然后聯(lián)立直線FG的解析式和拋物線的解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將不合題意的值舍去即可得出符合條件的G點(diǎn)．
②解法同①，過(guò)D作DM∥FC，交圓于點(diǎn)M，連接FM并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)G，此時(shí)兩弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF.先求FC解析式，根據(jù)DM∥FC和D點(diǎn)坐標(biāo)，求出DM解析式，從而就出M坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F、M坐標(biāo)求出直線MF解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求得.

綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的值．

（1）∵以為直徑作⊙，交軸的正半軸于點(diǎn)，

∴

又∵

∴

又∵

∴∽

∴

又∵，

∴

解得（負(fù)值舍去）

∴

故拋物線解析式為

∴，解得

∴二次函數(shù)的解析式為，即.

（2）∵為⊙的直徑，且，

∴，

∵點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的角平分線交⊙于點(diǎn)

∴

連結(jié)，則，

，，可得

∵，

∴延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，

則可得

連結(jié)交于點(diǎn)，再連結(jié)、，

此時(shí)的周長(zhǎng)最短，

解得的解析式為

的解析式為，可得交點(diǎn)

（3）符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：，.

①如圖過(guò)F作FG∥DC，交F點(diǎn)右側(cè)的拋物線于G，此時(shí)兩內(nèi)錯(cuò)角∠GFC=∠DCF，

用待定系數(shù)法求出直線DC的解析式：y=-x+4 ，

∵DC與FG平行，那么直線FG與直線DC的K值相同，因此可根據(jù)F的坐標(biāo)(3,5)∴求得FG的解析式:y=-x+ ，然后聯(lián)立直線FG的解析式: :y=-x+，和拋物線的解析式.即可求出交點(diǎn)G坐標(biāo)， 橫坐標(biāo)是時(shí)，不符合題意，舍去．
②如圖過(guò)D作DM∥FC，交圓于點(diǎn)M，連接FM并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)G，此時(shí)兩弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF，

解法同①，先求FC解析式，根DM∥FC和D點(diǎn)坐標(biāo)，求出DM解析式，從而就出M坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F、M坐標(biāo)求出直線MF解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求得.