Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數關系式及點C的坐標；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數法求二次函數解析式；
（2）從當△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°與當△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；
（3）根據當OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，
∴，
解得：，
∴y=x²-x+3；
∴點C的坐標為：（0，3）；

（2）假設存在，分兩種情況：
①當△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°，
如圖1，過點B作BM⊥x軸于點M，設D為y軸上的點，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A點坐標為（3，0），
∴D點的坐標為：（0，3），
∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴y=x²-x+3=-x+3，
∴x²-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3，y=0（不合題意舍去），
∴P點坐標為（0，3），
∴點P、C、D重合，
②當△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，
如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，
由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，
∴DF=4，
∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），
∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴y=x²-x+3=-x+5，
∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍），
∴y=6，
∴P點坐標為（-1，6），
∴點P的坐標為：（-1，6），（0，3）；

（3）如圖3：作EM⊥AO于M，
∵直線AB的解析式為：y=x-3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=OE×OF，
OE最小時S_△FEO最小，
∵OE⊥AC時OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直線CA上，
∴E點坐標為（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=，
∴E點坐標為（，）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求函數解析式，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．