Question

)如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0，2)，連接AC、BC．

    (1) 求拋物線解析式；

(2) BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，求直線DE的解析式；

    (3) 若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：(1) 由題意，得：              …………1分

解得：．                        …………3分

∴這個(gè)拋物線的解析式為y＝x²－x＋2．     …………4分

(2) 解法一：

如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F．

∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝．

∵B(4，0)，C(0，2)，   ∴CO＝2，BO＝4，

∴MF＝1，BF＝2，

∴M(2，1)                                   ………………5分

∵MN是BC的垂直平分線，∴CN＝BN，

設(shè)ON＝x，則CN＝BN＝4－x，

在Rt△OCN中，CN²＝OC²＋ON²，

∴(4－x)²＝2²＋x²，解得：x＝，∴N(，0)．     ………………6分

設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，依題意，得：

，解得：．

∴直線DE的解析式為y＝2x－3．              ………………8分

解法二：

如圖2，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點(diǎn)C作CF∥x軸交DE于F．

∵MN是BC的垂直平分線，∴CN＝BN，CM＝BM．

設(shè)ON＝x，則CN＝BN＝4－x，

在Rt△OCN中，CN²＝OC²＋ON²，

∴(4－x)²＝2²＋x²，解得：x＝，∴N(，0)．     ………………5分

∴BN＝4－＝．

∵CF∥x軸，∴∠CFM＝∠BNM．

∵∠CMF＝∠BMN，

∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．

∴F(，2)．                             …………………6分

設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，依題意，得：

，解得：．

∴直線DE的解析式為y＝2x－3．   ………………8分

(3) 由(1)得拋物線解析式為y＝x²－x＋2，∴它的對(duì)稱軸為直線x＝．

① 如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G(，2)，

以G為圓心，GA長(zhǎng)為半徑畫圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P₁，

則∠CP₁B＝∠CAB．                 …………9分

GA＝＝，

∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為(，－)．             …………10分

② 如圖4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，

∴G、N關(guān)于直線BC對(duì)稱．           …………11分

∴以N為圓心，NB長(zhǎng)為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對(duì)稱．    …………12分

⊙N交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P₂，則∠CP₂B＝∠CAB．               …………13分

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，則NH＝－＝1．

∴HP₂＝＝，

∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為(，)．