Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)，速度分別為1，，2（長(zhǎng)度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長(zhǎng)度單位/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過(guò)程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線解析式是_________；
（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________；當(dāng)t﹦_________，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（3）①作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P'．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEP'F為菱形，則t的值是多少？
②當(dāng)t﹦2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）y=﹣x+3；
（2）（0，），t=；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過(guò)F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t
由3﹣t=t 得t=；
當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)， 過(guò)P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）

∵OE=t，
∴BE=3﹣t，
∴EF==3﹣
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t﹣6）
在Rt△BMP中，
BPcos60°=MP
即2（t﹣6）=，
解得t=．
②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，∴點(diǎn)B'在直線EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO﹣PO長(zhǎng)度
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣1）
過(guò)F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC
由===，
可得Q的坐標(biāo)為（﹣，），
Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q'（﹣，）也符合條件．