![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4020.png)
或1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/565635.png)
分析:首先過B作x軸的垂線,設(shè)垂足為M,由已知易求得OA=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,在Rt△ABM中,已知了∠OAB的度數(shù)及AB的長,即可求出AM、BM的長,進而可得到BC、CD的長,再連接OD,證△ODE∽△AEF,通過得到的比例線段,即可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式;
若△AEF是等腰三角形,應(yīng)分三種情況討論:
①AF=EF,此時△AEF是等腰Rt△,A′在AB的延長線上,重合部分是四邊形EDBF,其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得;
②AE=EF,此時△AEF是等腰Rt△,且E是直角頂點,此時重合部分即為△A′EF,由于∠DEF=∠EFA=45°,得DE∥AB,即四邊形AEDB是平行四邊形,則AE=BD,進而可求得重合部分的面積;
③AF=AE,此時四邊形AEA′F是菱形,重合部分是△A′EF;由(2)知:△ODE∽△AEF,那么此時OD=OE=3,由此可求得AE、AF的長,過F作x軸的垂線,即可求出△AEF中AE邊上的高,進而可求得△AEF(即△A′EF)的面積.
解答:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536454ea3fccc.png)
解:過B作BM⊥x軸于M;
Rt△ABM中,AB=3,∠BAM=45°;則AM=BM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/191.png)
;
∴BC=OA-AM=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/191.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/19889.png)
,CD=BC-BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/191.png)
;
連接OD;
如圖(1),由(1)知:D在∠COA的平分線上,則∠DOE=∠COD=45°;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536454ea4efeb.png)
又∵在梯形DOAB中,∠BAO=45°,
∴由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°,
∴∠1=∠2,
∴△ODE∽△AEF,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/380295.png)
,即:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/380296.png)
,
∴y與x的解析式為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/380297.png)
,
當△AEF為等腰三角形時,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536454ea601ef.png)
①當EF=AF時,如圖(2),∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°;
∴△AEF為等腰直角三角形,D在A′E上(A′E⊥OA),
B在A′F上(A′F⊥EF)
∴△A′EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積;
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554138.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554139.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554140.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554141.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554142.png)
;
(也可用S
陰影=S
△A'EF-S
△A'BD),
②當EF=AE時,如圖(3),此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536454ea6e3ac.png)
∠DEF=∠EFA=45°,DE∥AB,又DB∥EA,
∴四邊形DEAB是平行四邊形
∴AE=DB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554143.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554144.png)
,
③當AF=AE時,如圖(4),四邊形AEA′F為菱形且△A′EF在五邊形OEFBC內(nèi).
∴此時△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536454ea7b044.png)
由(2)知△ODE∽△AEF,則OD=OE=3,
∴AE=AF=OA-OE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/255057.png)
,
過F作FH⊥AE于H,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554145.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554146.png)
,
綜上所述,△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4020.png)
或1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554147.png)
.
故答案為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/380297.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4020.png)
或1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/554147.png)
.
點評:此題主要考查了梯形、平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì),以及相似三角形的判定和性質(zhì);同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.