Question

把Rt△ABC的斜邊AB放在x軸上，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4，∠A=60°，點(diǎn)C在x軸上方，如圖．
（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）把△ABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，問至少旋轉(zhuǎn)幾度，才能使直角邊
A′C′與x軸垂直？

Answer 1

分析：（1）如圖，由于點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4，由此可以確定B的坐標(biāo)，然后確定AB的長度，又∠A=60°，由此可以求出AC的長度，然后就可以求出C的坐標(biāo)；
（2）如圖，由于把△ABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到∠A′=60°，然后利用已知條件即可求出旋轉(zhuǎn)角．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4，
∴B的坐標(biāo)為（4，0），
∴AB=8，而∠A=60°，
∴AC=4，
過C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=30°，
∴AD=2，CD=2

3

，
∴OD=OA-AD=2，
∴C的坐標(biāo)為（-2，2

3

）；

（2）如圖，設(shè)把△ABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C′，
依題意得∠AOA′是旋轉(zhuǎn)角，
而A′C′⊥OA，∠A′=∠A，
∴∠AOA′=30°，
∴至少旋轉(zhuǎn)30度，才能使直角邊A′C′與x軸垂直．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)及解直角三角形，首先利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)求出C的坐標(biāo)，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)角即可解決問題．