Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線y=x²-2交于A，B兩點，且A點在y軸左側，P點的坐標為（0，-4），連接PA，PB．有以下說法：
①PO²=PA•PB；
②當k＞0時，（PA+AO）（PB-BO）的值隨k的增大而增大；
③當k=時，BP²=BO•BA；
④△PAB面積的最小值為．
其中正確的是    ．（寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

【答案】分析：首先得到兩個基本結論：
（I）設A（m，km），B（n，kn），聯(lián)立兩個解析式，由根與系數(shù)關系得到：m+n=3k，mn=-6；
（II）直線PA、PB關于y軸對稱．
利用以上結論，解決本題：
（1）說法①錯誤．如答圖1，設點A關于y軸的對稱點為A′，若結論①成立，則可以證明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此產(chǎn)生矛盾，故說法①錯誤；
（2）說法②錯誤．如答圖2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16為定值，故錯誤；
（3）說法③正確．聯(lián)立方程組，求得點A、B坐標，進而求得BP、BO、BA，驗證等式BP²=BO•BA成立，故正確；
（4）說法④正確．由根與系數(shù)關系得到：S_△PAB=2，當k=0時，取得最小值為，故正確．
解答：解：設A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
聯(lián)立y=x²-2與y=kx得：x²-2=kx，即x²-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
設直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，-4），A（m，km）代入得：
，解得a=，b=-4，
∴y=（）x-4．
令y=0，得x=，
∴直線PA與x軸的交點坐標為（，0）．
同理可得，直線PB的解析式為y=（）x-4，直線PB與x軸交點坐標為（，0）．
∵+===0，
∴直線PA、PB與x軸的交點關于y軸對稱，即直線PA、PB關于y軸對稱．
（1）說法①錯誤．理由如下：
如答圖1所示，∵PA、PB關于y軸對稱，
∴點A關于y軸的對稱點A′落在PB上．
連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假設結論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，
∴，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴說法①錯誤．
（2）說法②錯誤．理由如下：
易知：=-，
∴OB=-OA．
由對稱可知，PO為△APB的角平分線，
∴，
∴PB=-PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-PA-（-OA）]=-（PA+AO）（PA-OA）=-（PA²-AO²）．
如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=-km，PD=4+km．

∴PA²-AO²=（PD²+AD²）-（OD²+AD²）=PD²-OD²=（4+km）²-（-km）²=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=（m+n），
∴PA²-AO²=8•（m+n）•m+16=m²+mn+16=m²+×（-6）+16=m²．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-（PA²-AO²）=-•m²=-mn=-×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）為定值，所以說法②錯誤．
（3）說法③正確．理由如下：
當k=時，聯(lián)立方程組：，得A（，2），B（，-1），
∴BP²=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP²=BO•BA，故說法③正確．
（4）說法④正確．理由如下：
S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=OP•（-m）+OP•n=OP•（n-m）=2（n-m）=2=2，
∴當k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為=．
故說法④正確．
綜上所述，正確的說法是：③④．
故答案為：③④．
點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，難度很大．解答中首先得到兩個基本結論，其中PA、PB的對稱性是判定說法①的基本依據(jù)，根與系數(shù)關系的結論是判定說法②、④的關鍵依據(jù)．正確解決本題的關鍵是打好數(shù)學基礎，將平時所學知識融會貫通、靈活運用．