Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向點(diǎn)C 以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)．

（1）經(jīng)過(guò)2秒后，求證：∠DPQ=∠C．

（2）若△CPQ的周長(zhǎng)為18cm，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）經(jīng)過(guò)1秒或秒或秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形．

【解析】

（1）經(jīng)過(guò)1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可解答；

（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts△CPQ是等腰三角形，則可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時(shí)△CPQ為等腰三角形，從而求得t的值．

（1）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)分別從B，A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，

有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，則CP=BC﹣BP=10﹣4=6cm，

CQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm，∵D是AB的中點(diǎn)，

∴BD=AB=×12=6cm，

∴BP=CQ，BD=CP，

又∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS)

∴∠DPB=∠PQC，

∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC，

∴∠DPQ=∠C；

（2）設(shè)當(dāng)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，

有BP=2t，AQ=4t

∴t的取值范圍為0＜t≤3，

則CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，

∵△CPQ的周長(zhǎng)為18cm，

∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）=6t﹣4，

要使△CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：

①當(dāng)CP=CQ時(shí)，則有10﹣2t=12﹣4t，

解得：t=1．

②當(dāng)PQ=PC時(shí)，則有6t﹣4=10﹣2t，

解得：t=；

③當(dāng)QP=QC時(shí)，則有6t﹣4=12﹣4t，

解得：t=，

三種情況均符合t的取值范圍．

綜上所述，經(jīng)過(guò)1秒或秒或秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形．