Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，根據現有的圖形，請你添加一個條件，使四邊形AECF為菱形，并說明理由．
解：添加的一個條件可以是

 

（只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”或“線”）
理由：

Answer 1

分析：首先由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形與角平分線的性質易證得四邊形AECF是平行四邊形，然后根據菱形的判定定理，即可確定添加的條件與判定方法．

解答：解：添加的一個條件可以是AC⊥EF（如：AE=AF，條件不唯一）．（2分）
理由：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，（4分）
又∵AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，
∴∠FAE=

1

2

∠FAB，∠FCE=

1

2

∠DCE，
∴∠AEB=

1

2

∠FAB，
∴∠AEB=∠FCE，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，（7分）
根據添加的一個條件是AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．   （9分）

點評：此題屬于開放題，考查了菱形的判定，平行四邊形的判定與性質，以及角平分線的性質等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．