Question

如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=

k

x

（k≠0）與△ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)直線y=x與BC交于E點(diǎn)，分別過A、E兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D、F，則A（1，1），而AB=AC=2，則B（3，1），C（1，3），△ABC為等腰直角三角形，E為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求E點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)雙曲線與△ABC有唯一交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)交點(diǎn)分別為A、E，由此可求k的取值范圍．

解答：解：如圖，設(shè)直線y=x與BC交于E點(diǎn)，分別過A、E兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D、F，EF交AB于M，
∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，A點(diǎn)在直線y=x上，
∴A（1，1），
又∵AB=AC=2，AB∥x軸，AC∥y軸，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC為等腰直角三角形，
BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

3+1

2

，

1+3

2

），即為（2，2），
∵點(diǎn)（2，2）滿足直線y=x，
∴點(diǎn)（2，2）即為E點(diǎn)坐標(biāo)，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，
當(dāng)雙曲線與△ABC有唯一交點(diǎn)時(shí)，1≤k≤4．
故答案為：1≤k≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．注意直線，三角形的特殊性，根據(jù)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求解．