Question

如圖，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點M為拋物線的頂點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）是否存在以BM為斜邊的Rt△BCM的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若拋物線上有一點P，連接PC交線段BM于Q點，且S_△BPQ=S_△CMQ，請寫出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）令y=0，則mx²-2mx-3m=0，
即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點A（-1，0），B（3，0）；

（2）令x=0，則y=-3m，
∴點C坐標為（0，-3m），
∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點M坐標為（1，-4m），
∴BC²=3²+（3m）²=9+9m²，BM²=（3-1）²+（4m）²=4+16m²，MC²=1²+[（-3m-（-4m）]²=1+m²，
∵Rt△BCM以BM為斜邊，
∴BC²+MC²=BM²，
即9+9m²+1+m²=4+16m²，
整理得，m²=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（3）在（2）的條件下，點C坐標為（0，-3），M（1，-4），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以直線BC的解析式為y=x-3，
∵S_△BPQ=S_△CMQ，
∴S_△BPQ+S_△BCQ=S_△CMQ+S_△BCQ，
即S_△BPC=S_△BMC，
∴點P到BC的距離等于點M到BC的距離，
∴MP∥BC，
設MP的解析式為y=x+c，
則1+c=-4，
解得c=-5，
所以，直線MP的解析式為y=x-5，
聯(lián)立，
解得（為點M坐標），，
所以，點P的坐標為（2，-3）．
分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標；
（2）根據拋物線解析式求出點C的坐標以及頂點M的坐標，然后根據勾股定理列式求出BC²，BM²，MC²，然后在Rt△BMC中，利用勾股定理列式進行計算即可求出m的值，從而得到拋物線解析式；
（3）根據m的值確定出點C、M的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BC的解析式，然后根據S_△BPQ=S_△CMQ時則S_△BPC=S_△BMC，利用等底同高的三角形的面積相等可知此時MP∥BC，然后根據互相平行的兩直線的解析式的k值相等以及點M的坐標求出直線MP的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求解即可得到點P的坐標．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了求拋物線與坐標軸的交點，拋物線的頂點坐標的求解，勾股定理的應用，待定系數法求一次函數解析式，同底等高的三角形的面積相等，平行直線的解析式的k值相等，聯(lián)立兩函數解析式求交點坐標的問題，（3）利用過點M與BC平行的直線聯(lián)立拋物線解析式求解是解題的關鍵．