Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，CA=1，CD是⊙O半徑的

3

倍．
（1）求⊙O的半徑R；
（2）如圖1，弦DE∥CB，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿直徑AB向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積；
（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針方向向B運(yùn)動(dòng)．連接DM，過D作DM的垂線，與MB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，DN取到最大值？求此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由題意，CD是⊙O半徑的

3

倍，CA=1，在直角△CDO中，根據(jù)勾股定理CD²+OD²=CO²，代入即可求出；
（2）由DE∥CB，可知，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿直徑AB向B運(yùn)動(dòng)的過程中，△DEQ的面積不變，則陰影部分的面積不變；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，則∠DOE=60°，即可求出陰影部分的面積；
（3）如圖，連接AD、BD，當(dāng)DM過圓心O時(shí)，DN取到最大值；易證△ADB∽△MDN，由已知，可求得，AD=1，BD=

3

，所以，DN=

3

DM，此時(shí)，∠AOM=120°，即可求得

AM

的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴三角形CDO是直角三角形，
∵CA=1，CD是⊙O半徑的

3

倍，
∴在直角△CDO中，CD²+OD²=CO²，
則，(

3

R)2+R²=（1+R）²，
∴R=1；

（2）∵DE∥CB，
∴動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿直徑AB向B運(yùn)動(dòng)的過程中，△DEQ的底DE不變，底DE上的高不變，
∴△DEQ的面積不變，則陰影部分的面積不變；
由OD=1，CO=2，
∴∠C=30°，則∠COD=60°，
∴∠ODE=60°，
∵∠ODE=∠OED，
∴∠OED=60°
∴∠DOE=60°，
∴S_陰影=

60°

360°

×πR²=

1

6

π；

（3）如圖，連接AD、BD，
∴∠DAB=∠DMN，又∠ADB=∠MDN=90°，
∴△ADB∽△MDN，
又AD=1，AB=2，
∴BD=

3

，
∴

DN

DM

=

BD

AD

=

3

，
∴DN=

3

DM，
∴當(dāng)DM為最大值，即DM過圓心O時(shí)，DN取到最大值；
∵∠AOD=60°，
∴∠AOM=120°，
∴

AM

=

120°

360°

×2πR=

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算、弧長(zhǎng)的計(jì)算及直角三角形的知識(shí)，作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決是解答本題的關(guān)鍵．