Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)：

①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找出一點(diǎn)Q，使BQ+CQ的值最小，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）①（﹣4，5）或（4，21）；②（﹣1，﹣2）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由a的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求出二次函數(shù)的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S△POC＝4S△BOC，即可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

②連接AC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可得出此時(shí)BQ+CQ的值最小，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1×2﹣（﹣3），0），即（1，0）．

（2）∵a＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

∴拋物線的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，

又∵點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC＝4S△BOC，

∴|x|OC＝4×OBOC，即|x|＝4，

∴x＝±4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，5）或（4，21）．

②連接AC，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，此時(shí)BQ+CQ的值最小，如圖所示．

設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），

將A（﹣3，0）、B（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1×（﹣1）﹣3＝﹣2，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．