【答案】
分析:(1)首先由k值確定拋物線的解析式,通過配方即可得到拋物線的頂點坐標(biāo).
(2)此題需要證明兩點:①“無論k為任何實數(shù),拋物線都與x軸有交點”.那么令拋物線的函數(shù)值為0,在所得方程中,證明根的判別式為非負(fù)數(shù)即可;
②“經(jīng)過x軸一定點”.證明這一點方法較多,如:可由求根公式求出兩根,或通過因式分解求出兩根,觀察兩根的特點即可得出結(jié)論.
(3)首先判斷是否存在第四個交點,由題干條件|x
1|<|x
2|,顯然拋物線的對稱軸不是y軸,即C點不可能是拋物線的頂點(因為點C不在拋物線的對稱軸上),由于拋物線和圓都是軸對稱圖形,那么必然存在第四個交點,所以解題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為如何求k的值,可以從△ABC的面積入手.
首先,要求出AB和OC的長,由(2)已求得A、B點的坐標(biāo),根據(jù)|x
1|<|x
2|,先得到k的取值范圍,進而通過△ABC的面積求出k的值,代入拋物線的解析式中即可明確拋物線的對稱軸方程,而C、D(設(shè)點D是第四個交點)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,那么點D的坐標(biāo)就顯而易見了.
解答:解:(1)當(dāng)k=2時,拋物線為y=x
2+2x,
配方:y=x
2+2x=x
2+2x+1-1
得y=(x+1)
2-1,
∴頂點坐標(biāo)為(-1,-1).(也可由頂點公式求得)
(2)令y=0,有x
2+kx+2k-4=0,
此一元二次方程根的判別式
△=k
2-4•(2k-4)=k
2-8k+16=(k-4)
2,
∵無論k為什么實數(shù),(k-4)
2≥0,
方程x
2+kx+2k-4=0都有解,
即拋物線總與x軸有交點.
由求根公式得x=
,
當(dāng)k≥4時,x=
,x
1=
=-2,x
2=
=-k+2;
當(dāng)k<4時,x=
,x
1=
=-k+2,x
2=
=-2.
即拋物線與x軸的交點分別為(-2,0)和(-k+2,0),
而點(-2,0)是x軸上的定點.
(3)過A,B,C三點的圓與該拋物線有第四個交點.設(shè)此點為D.
∵|x
1|<|x
2|,C點在y軸上,由拋物線的對稱,可知點C不是拋物線的頂點.
由于圓和拋物線都是軸對稱圖形,過A、B、C三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形.
∵x軸上的兩點A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱,
∴過A、B、C三點的圓與拋物線的第四個交點D應(yīng)與C點關(guān)于拋物線對稱軸對稱.
由拋物線與x軸的交點分別為(-2,0)和(-k+2,0):
當(dāng)-2<-k+2,即k<4時,A點坐標(biāo)為(-2,0),B為(-k+2,0).
即x
1=-2,x
2=-k+2.
由|x
1|<|x
2|得-k+2>2,解得k<0.
根據(jù)S
△ABC=15,得
AB•OC=15.
AB=-k+2-(-2)=4-k,
OC=|2k-4|=4-2k,
∴
(4-k)(4-2k)=15,
化簡整理得k
2-6k-7=0,
解得k=7(舍去)或k=-1.
此時拋物線解析式為y=x
2-x-6,
其對稱軸為x=
,C點坐標(biāo)為(0,-6),它關(guān)于x=
的對稱點D坐標(biāo)為(1,-6);
當(dāng)-2>-k+2,由A點在B點左邊,知A點坐標(biāo)為(-k+2,0),B為(-2,0).
即x
1=-k+2,x
2=-2.
但此時|x
1|>|x
2|,這與已知條件|x
1|<|x
2|不相符,
∴不存在此種情況.
故第四個交點的坐標(biāo)為(1,-6).(如圖)
點評:該題的難度較大,主要涉及了:二次函數(shù)與圓的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及不等式的應(yīng)用等綜合知識.最后一題中,k的取值范圍的確定是本題的難點所在.