【答案】
分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo),易求出A、C、D、E的坐標(biāo),易知:CE=BE=3,BD=2,很明顯△CDE和△BDE不相似,因此∠CED≠∠BDE,也就是說∠CED+∠BED≠90°,OE與DE不垂直,因此O到ED的距離不等于OE的長;
(2)矩形的面積實(shí)際上是F點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積,因此求出直線DE的解析式是解題的關(guān)鍵.可根據(jù)(1)得出的D、E的坐標(biāo)求出直線DE的解析式,進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式得出矩形的面積S與F橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對應(yīng)的F的坐標(biāo);
(3)本題可先根據(jù)B、C的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式(使拋物線的待定系數(shù)只有二次項(xiàng)一個),假設(shè)矩形SPQR是拋物線的任意內(nèi)接矩形(R、S在拋物線上),可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出R、S的坐標(biāo),即可表示出RS和RP的長,然后根據(jù)矩形周長的計(jì)算方法可得出關(guān)于矩形周長和R、S其中一點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,題中給出了拋物線內(nèi)接矩形的周長最大時,x應(yīng)該為6,因此得出的函數(shù)的對稱軸即為x=6,由此可確定拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)的值.
解答:解:(1)A(6,0),D(6,2),E(3,4),C(0,4)
答:不等于
理由:連接OE,OD,ED.
∵OE
2=25,ED
2=13,OD
2=40
∴OE
2+ED
2≠OD
2∴OE與DE不垂直,點(diǎn)O到直線ED的距離不是線段OE的長.
(證明方法很多,①△ODE的面積為9,求出DE邊上的高h(yuǎn)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/0.png)
與OE=5的長比較;
②在直線DE與x,y軸圍成的三角形中,利用等積法,求點(diǎn)O到直線DE的距離
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與OE比較;
③證明△ODE和△EBD不相似,則∠OED≠90°;
④延長ED交x軸于P,在Rt△DAP中,tan∠EPO=2:3,而在△QEP中,OE:EP≠2:3,則∠OED≠90°.)
(2)解法一:
延長ED交x軸于點(diǎn)H.由已知得△EBD≌△HAD.
∴AH=EB=3
∴HO=9設(shè)OG=m,則HG=9-m.
由△HAD∽△HGF可得
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=
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即
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=
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∴GF=
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(9-m)=-
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m+6
S
矩形OGFH=OG•GF=m(-
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m+6)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/9.png)
m
2+6m(3≤m≤6)
當(dāng)m=-
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=-
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=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/12.png)
時,S
矩形OGFH最大
GF=-
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×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/14.png)
+6=3
∴點(diǎn)F(
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,3).
解法二:設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b,由圖象經(jīng)過E,D兩點(diǎn)可得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/16.png)
.
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/17.png)
.
∴y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/18.png)
x+6
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(m,n),
由點(diǎn)F在線段ED上可得:n=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/19.png)
m+6
∵FG⊥x軸于點(diǎn)G,F(xiàn)H⊥y軸于點(diǎn)H,
∴FG=n,F(xiàn)H=m
∴S
矩形OGFH=mn=m(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/20.png)
m+6)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/21.png)
m
2+6m(3≤m≤6)
當(dāng)m=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/22.png)
當(dāng)m=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/23.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/24.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/25.png)
時,S
矩形OGFH最大
GF=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/26.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/27.png)
+6=3
∴點(diǎn)F(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/28.png)
,3)
(3)設(shè)這個拋物線的解析式為y=ax
2+bx+c(a≠0)由內(nèi)接矩形的定義可知:
此拋物線經(jīng)過B,C兩點(diǎn),對稱軸x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/29.png)
=3,且c=4
∴這個拋物線的解析式為y=ax
2-6ax+4
如圖,設(shè)矩形SPQR是這個拋物線的任一內(nèi)接矩形,且點(diǎn)R(x,y)由對稱性可知點(diǎn)S(6-x,y)
∴RS=2x-6,RQ=y
又∵點(diǎn)R在這個拋物線上,
∴y=ax
2-6ax+4
∴C
矩形SPQR=2(2x-6+y)
=2(2x-6+ax
2-6ax+4)=2ax
2+(-4-12a)x-4
已知可知當(dāng)x=6時,C
矩形SPQR取得最大值.
∴-4-12a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/30.png)
a
∴a=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/31.png)
因此,所求拋物線的解析式為y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131211103849369143088/SYS201312111038493691430007_DA/32.png)
x
2+2x+4.
點(diǎn)評:本題考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識,綜合性強(qiáng),難度較大.