Question

已知關(guān)于x的一元二次方程ax²＋x－a＝0(a≠0)，

(1)求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，該方程根有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)x₁、x₂是該方程的兩個(gè)根，若|x₁|＋|x₂|＝4，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)證明：Δ＝1＋4a2，∵a為任何實(shí)數(shù)，a2≥0，∴Δ＞0，∴方程恒有兩實(shí)數(shù)根． 設(shè)方程的兩根為x1，x2，∵a≠0，∴x1·x2＝＝－1＜0．∴方程恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根． (2)由(1)得x1·x2＜0， ∴|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝4． ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16． 又∵x1＋x2＝－，∴＋4＝16 ∴a＝±．

提示：

(1)名師導(dǎo)引：(1)欲證明一元二次方程恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根，說明根的判別式大于零，且兩根之積小于零；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，必須把x1、x2的絕對(duì)值符號(hào)去掉，否則就需要討論，利用(1)的結(jié)論x1，x2異號(hào)，就可得|x1|＋|x2|＝|x1－x2|．