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如圖,二次函數過A(0,m)、B(-3,0)、C(12,0),過A點作x軸的平行線交拋物線于一點D,線段OC上有一動點P,連接DP,作PE⊥DP,交y軸于點E。
(1)求AD的長;
(2)若在線段OC上存在不同的兩點P1、P2,使相應的點E1、E2都與點A重合,試求m的取值范圍;
(3)設拋物線的頂點為點Q,當60°≤∠BQC≤90°時,求m的變化范圍。
解:(1)∵B(-3,0)、C(12,0)是關于拋物線對稱軸對稱的兩點,AD∥x軸,
∴A、D也是關于拋物線對稱軸對稱的兩點,
∵A(0,m),∴D(9,m),∴AD=9;

(2)∵PE⊥DP,
∴要使線段OC上存在不同的兩點P1、P2,使相應的點E1、E2都與點A重合,也就是使以AD為直徑的圓與BC有兩個交點,即圓的半徑r>|m|,
∵r=,∴|m|<,
又∵m>0,∴0<m<;

(3)設拋物線的方程為:y=a(x+3)(x-12),
又∵拋物線過點A(0,m),
∴m=-36a,∴a=-m
∴y=-m(x+3)(x-12)=-m(x-2+m
∵tan∠BQM=,QM=m
又∵60°≤∠BQC≤90°
∴由拋物線性質得30°≤∠BQM≤45°
∴當∠BQM=30°時,可求出m=,
當∠BQM=45°時,可求出m=
∴m的取值范圍為≤m≤。
練習冊系列答案
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