Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD與y軸相交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，CD．

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)AD平分∠CAB時(shí)．

①求直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

②設(shè)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△CAD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，0）或（13，0）．

【解析】

（1）將、、點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（2）設(shè)，根據(jù)平分，，軸，求得，并證得 ∽ ，利用 可的，可得點(diǎn)坐標(biāo)，把，代入，化簡(jiǎn)可得AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

因?yàn)?/span>是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與相似，并且是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，所以 點(diǎn)有兩種情況：AD為等腰三角形的斜邊，或者以AD為腰，為底，分別討論求解即可.

解（1）∵拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，

∴，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）作于點(diǎn)H，如圖，設(shè)．

∵平分，，軸，

∴，，

在中，．

∵

，

∴ ∽ ，

∴

∴，解得：，

∴，設(shè)直線AD的表達(dá)式為，

把，代入，

得，解得：，

∴直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；

直線AD與二次函數(shù)相交于點(diǎn)D，

∴解得或，

點(diǎn)D在第一象限，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，

∴，且，

∴是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，

是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與相似，

∴也為等腰三角形，

如上圖示，

當(dāng)AD為等腰三角形的斜邊時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)以AD為腰，為底時(shí)，作

點(diǎn)D坐標(biāo)為，

∴

∴,,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．