Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,點P是拋物線上的一個動點,點A的坐標為(0,-3).

(1)如圖①所示,直線l過點Q(0,-1)且平行于x軸,過P點作PB⊥l,垂足為B,連接PA，猜想PA與PB的大小關系,并證明你的猜想.

(2)請利用(1)的結論解決下列問題：

①如圖②所示,設點C的坐標為(2,-5),連接PC,問PA+PC是否存在最小值?如果存在,請并求出點P的坐標；如果不存在,請說明理由.

②若過動點P和點Q(0,-1)的直線交拋物線于另一點D,且PA=4AD,求直線PQ的表達式(圖③為備用圖).

Answer 1

【答案】(1) PA=PB，證明見解析；(2)①存在. 此時P點坐標為(2,-3)，②直線PQ的表達式為或.

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征，設P（m，-m2-2），則B（m，-1），然后根據兩點間的距離公式計算出PA和PB，從而可判斷它們相等；

（2）①過點Q作QB∥x軸，過P點作PB⊥QB于B點，如圖2，由（1）得PB=PA，根據兩點之間線段最短，當點P、B、C共線時，此時P點的橫坐標為2，然后計算對應的函數值即可得到P點坐標；

②過點Q（0，-1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再證明△QDE∽△QPB，利用相似比得到=，設P（m，-m2-2），則B（m，-1），PB=m2+1，易得E點坐標為（m，-1），D點坐標為（m，-（m）2-2），則ED=m2+1，然后根據DE和PB的數量關系列方程m2+1=4（m2+1），解方程求出m，從而得到P點坐標，最后利用待定系數法求直線PQ的解析式．

(1) PA=PB，

證明:設P(m,),則B(m,-1)，

∵PA，

PB， ∴PA=PB.

(2)①存在.

過點Q作QB∥x軸,過P點作PB⊥QB于B點,如圖①所示，由(1)得PB=PA,則PA+PC=PB+PC，

當點P,B,C共線時,PB+PC最小，此時PC⊥QB,P點的橫坐標為2,

當x=2時,y=，即此時P點坐標為(2,-3)。

②過點Q(0,-1)作直線l平行于x軸,作PB⊥l于B,DE⊥1于E,如圖②所示,由(1)得PB=PA,DE=DA。

∵PA=4AD，∴ PB= 4DE。DE∥PB，∴△QDE∽△QPB,∴。

設P，則B(m,-1),PB=，

∴E點坐標為，D點坐標為，

∴ED=， ∴,解得m1=4,m2=-4，

∴P點坐標為(4,-6)或(-4,-6)。

當P點坐標為(4,-6)時,直線PQ的表達式為

當P點坐標為(-4,-6)時,直線PQ的表達式為，

即直線PQ的表達式為或.