Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA＝CB，AB＝10，0°＜∠C＜60°，AF⊥BC于點(diǎn)F，在FC上截取FD＝FB，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接DA、DE，且∠ADE＝∠B.

（1）求證：ED＝EC；

（2）若∠C＝30°，求BD長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，將圖中△DEC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DE′C′，請(qǐng)問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，以點(diǎn)C、E、C′、E′為頂點(diǎn)的四邊形可以構(gòu)成平行四邊形嗎？若可以，請(qǐng)求出該平行四邊形的面積，若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=10；（3）可以，見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）先判斷出∠C=180°-2∠ABC，∠CDE=180°-2∠ABC，進(jìn)而求出∠C=∠CDE，即可得出結(jié)論；（2）先求出角BAD=30°，進(jìn)而求出BG，AG，即可得出DG，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；（3）先判斷出旋轉(zhuǎn)到C落在CB的延長(zhǎng)線上，以點(diǎn)C,E,C’,E’為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再求出DH，DE即可得出結(jié)論.

解：（1）∵AC=BC,

∴∠ABC=∠BAC，

∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠ABC，

∵AF⊥BC，BF=DF,

∴AB=AD，

∴∠ADB=∠ABC，

∴∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-2∠ABC

∴∠CDE=∠C，

∴ED=CE；

（2）∵∠C=30°，

∴∠ABC=∠ADB=∠BAC=∠ADE=75°，

∴∠BAD=30°，

過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD于G，如圖1，

在Rt△ABG中，AB=10，∠BAD=30°，

∴BG=5，AG=5

∴DG=AD-AG=10-5=5(2-)

在Rt△BDG中，BD=

（3）存在，理由：

如圖2，當(dāng)點(diǎn)C’落在CB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E’落在ED的延長(zhǎng)線上，

由旋轉(zhuǎn)知DE=DE’,DC=DC’

∴四邊形CEC’E’是平行四邊形，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，

在Rt△ADH中，AD=10，∠DAH=∠BAC-∠BAD=45°，

∴DH=5

在Rt△DEH中，∠AED=∠ACB+∠CDE=60°，

∴∠EDH=30°，

∴DE=

∴CE=

∴S平行四邊形CEC’E’=4S△CDE=