Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，可求得∠ABC與∠ADC的度數(shù)，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性質(zhì)，求得∠ADB的度數(shù)，繼而求得∠BDC的度數(shù)；
（2）首先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，在Rt△BCE中，由BC=2，∠C=60°，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得BE，CE的長(zhǎng)，又由∠BDC=45°，求得CE的長(zhǎng)，繼而求得DF的長(zhǎng)，又由AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，求得AB=DF．
解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，
∴∠ABC=90°，∠ADC=180°-∠C=120°．
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，∠ABD=15°，
∴∠ADB=75°． 
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，
在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60°，
∴BE=BC•sinC=，CE=BC•cosC=1．
∵∠BDC=45°，
∴DE=BE=．
∴CD=DE+CE=+1．  
∵BC•DF=CD•BE，
∴DF=． 
∵AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，
∴AB=DF=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．