Question

已知：拋物線經過點A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三點，頂點為D，且與x軸的另一個交點為E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求三角形BDE的面積；
（3）作∠BDE的平分線交線段BE于點F，求BF：FE的值．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可利用待定系數法求出該拋物線的解析式；
（2）D、E的坐標易求得，而△BDE的面積無法直接求得，可利用面積割補法來求解，過D作x軸的垂線DM，交BE于N，B、E的坐標已知，即可求出直線BE的解析式，將D點橫坐標代入直線BE的解析式中，可求得N點的坐標，從而得到DN的長，以DN為底、OE為高，即可求得△BDE的面積；（也可理解為△BDN、△BNE的面積和）
（3）過QF⊥BE于Q，根據Q、B、F三點坐標，可求出∠DBP=∠OBE=45°，那么∠DBE=90°，則QF∥BD，已知DF是∠BDE的角平分線，可得到∠BDF=∠FDQ=∠DFQ，故DQ=QF，那么BF：EF=DQ：QE=QF：QE，即BF：EF=BD：DE，即∠BDE的正弦值，由此得解．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

∴y=-x²+2x+3；（2分）

（2）易知D（1，4），E（3，0），
作DM⊥AE于M，交BE于N，
BE解析式為y=-x+3，
∴M（1，0），N（1，2），
∴DN=2，OE=3
S_△BDE=S_△DNB+S_△DNE=

1

2

DN•OM+

1

2

DN•ME
=

1

2

DN•OE=

1

2

×2×3=3（4分）
∴△BDE面積為3；

（3）作DP⊥y軸于P，作QF⊥BE交DE于Q；
∵DP=PB=1，OB=OE=3，
∴∠PBD=∠EBO=45°，
∴∠EBD=90°
∴BD∥FQ，BD=

2

，DE=2

5

，
∴∠BDF=∠DFQ，

BF

EF

=

DQ

QE

（5分）
又∵DF為∠BDE平分線，
∴∠BDF=∠EDF，
∴∠EDF=∠DFQ，
∴QD=QF，
∴

BF

EF

=

FQ

QE

（6分）
∵sin∠DEB=

FQ

QE

=

BD

DE

=

2

2 5

=

10

10

，
∴

BF

EF

=

10

10

．（7分）

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、角平分線和平行線的性質、平行線分線段成比例定理等知識，綜合性強，難度較大．